《天才玩家-康威的好奇心灵》按语

——上山揽月的魔法天才

这里，我们评介的主人翁是康威（John Horton Conway）。

为什么评介他？对于我们而言，其理由至少有三：

其一，他是一位影响很大的数学家；
其二，他在2020新冠肺炎大流行中，于4月12日因感染新冠病毒身亡，享年82岁；
其三，他偏好的学术路径，他的著述，尤其是他的发明，对系统科学具有深刻的启示。

康威去世后仅两天，即4月14日，纽约时报发表了专题文章，对于康威的一生做了很到位的全面评介，也是了解这位传奇数学家的重要资料。因此，笔者将该文翻译成中文，直接代替上面提及的，第一和第二两点的陈述。下面是该文的内容（为节省篇幅。只保留了第一张图片），文章中不得不涉及一些专业术语和概念，非专业性人士阅读时，不妨跳过去，不加理会：

约翰·霍顿·康威，一个“魔法天才”，死于82岁
（这是《纽约时报》刊登讣告的超级版）

纽约时报2020年4月14日

狄·潘（Dith Pran）

英国出生的普林斯顿数学家约翰·霍顿·康威（John Horton Conway）上周六去世，据他自己的说法，康威一生中从未工作过一天，却获得过许多奖项，他是一位创造性的、颠覆传统的、神奇的天才。他享年82岁。

他的妻子戴安娜·康威证实他死于Covid-19。

康威博士的作品博大精深，从严谨的高谈阔论到情绪化的乐趣表述无不如此。

康威博士在数论、博弈论、编码论、群论、纽结理论、拓扑学、概率论、代数、分析、组合学等领域都有着深远的贡献。最重要的是，他认为自己是个几何学家。

数学家尼尔·斯隆（Neil Sloane）是网络上整数序列百科全书（Online Encyclopedia of Integer Sequences）的创始人，他说：“他（译注：指康威）的研究范围可能比任何人都要广。”。“我和很多人一起工作过，他是解决问题最快的人，会尽可能地去追求一个关键性的话题。”两人共同撰写了50篇论文，出版了706页的专著《球体装箱、格与群（Sphere Packings, Lattices and Groups）》，又名SPLAG。

在康威博士所称的“阿努斯 米拉比勒斯（annus mirabilus）”（是指他从1968年到1969年，再到1970年，在各处所碰到的各种各样的比特形态）中，他发现了康威群，一个存在于24维空间的数学对称领域的实体，以及一种新的数型，“超实数”。他发明了细胞自动机的生命游戏，这是最美丽的数学计算模型之一。康威博士形容这是一个“没有对弈者，又永无止境”的游戏。

向康威博士致敬的生命游戏（由xkcd公司提供）
（译注：这是一个向康威博士很特殊的悼念方式，采用他发明的生命游戏制作成的动画。棋盘上的初始状态组成一个人型，游戏启动后，这个图案就一步一步地向东北角移动，直到最后完全走出棋盘，隐喻着康威离开了人世。）

他的朋友、美国数学游戏专栏作家马丁·加德纳（Martin Gardner）称康威博士具有“最著名的思想创意（brainchild）”。他估计，当生命游戏达到疯狂程度时---成千上万的上瘾者在家和工作中对其进行编程---世界上四分之一的计算机都在玩这种游戏。

“康威的生命游戏改变了我的生活，”音乐家布莱恩·恩诺（Brian Eno）在一封电子邮件中说。“我认为康威自己认为这是一件很琐碎的事情，但对我这样一个非数学界人士来说，这是对直觉的冲击，带来令人震惊的启示---观看到了从朴素的简单中涌现出荣光闪闪的复杂性。它把我对艺术、音乐和进化过程的许多想法都具体化了。我仍然定期地反复观看这个游戏，其魅力丝毫不减。”

但到了2000年左右，康威博士剥夺了这个聪明孩子（译注：指生命游戏）的继承权，宣称：“我讨厌生命游戏！”对于每一次机会，他认为最好是在讲台上获得。（直到最近他才重新喜欢上生命游戏。）

他宁愿以超实数而闻名，这是他最引以为豪的数型创造。加德纳先生将超实数描述为“手法上的一项惊人壮举”， 超实数是一个超连续的数字，包括了所有原先的实数（整数、分数和非理性，如π等），以及那些向上超越、向下超越、向外超越、向内超越的数字，所有层次的无穷大和无穷小都尽在其中。

康威博士一直希望这些超实数能够找到应用，也许有助于在宇宙和量子尺度上对宇宙加以解释带来希望。他认为这一发现正是它们的基础，以至于他用黑体字将其命名为“No”，意思是“Numbers”。《计算机编程的艺术》一书的作者、斯坦福大学的计算机科学家唐纳德·克努特（Donald Knuth）在写中篇小说《超现实的数字：两个前学生如何转向纯粹的数学并找到了完美的幸福（Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness.）》时，就用到了“超现实的数字”

克努特博士说：“虽然约翰是一个纯粹的数学家，但他涉及的基础太多，以至于他在计算机编程艺术方面的不同贡献已经为人们提及多达25次以上（迄今为止）。”。“在我最喜欢的数学家当中，他排行第二---只有莱昂哈德·欧拉才能胜过他。”

康威博士最喜欢的成就之一是自由意志定理（Free Will Theorem），他和他的朋友、普林斯顿数学家西蒙·科钦（Simon Kochen）一起，用了十年的时间里将其概念化，最初于2006年出版，后来进行了修订。（自由意志定理最简单的一般表述是：如果物理学家在进行实验时有自由意志，那么基本粒子也有自由意志。）。康威博士和科钦博士认为，这或许可以解释为什么人类首先拥有自由意志，以及如何拥有自由意志。

“在数学和物理学领域，有两种天才，”科钦博士在普林斯顿的家中通过电话说，这与数学家马克·卡克（Mark Kac）曾经对物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）的评价如出一辙。“有一些是普通的天才——他们和你我一样，但他们更为擅长；如果我们足够努力，也许我们可以得到一样的结果。

他补充道：“但还有一种是魔法天才。理查德·费曼是个神奇的天才。我对约翰的印象也是一样---他是一位神奇的数学家。他是个神奇的天才，而不是普通的天才。”

约翰·霍顿·康威1937年12月26日出生于英国利物浦，他的父亲是西里尔和阿格尼斯（博伊斯·康威）。他的父亲是个不学自通的聪明人，14岁就离开了学校，凭着他具有照相一样的记忆能力，靠打牌谋生。后来，他在利物浦男子高中的化学实验室做技术员，为学生们做实验，其中包括乔治·哈里森和保罗·麦卡特尼。

康威博士的母亲是一位伟大的閲读者，更是狄更斯的读者，从11岁开始工作。家族传说中，她吹嘘自己发现儿子4岁时就会背诵2的幂级数。他有两个姐妹，琼和西尔维娅，琼回忆说，她兄弟喜欢数（shu2声）数（shu4声），不停地问：“还有什么？还有什么？！什么时候结束？”

1956年，约翰18岁离开家来到剑桥大学，在那里他最终完成了一篇关于无穷集排序的博士论文，数论学家哈罗德·达文波特（Harold Davenport）是他的论文指导老师。达文波特博士曾经说过，他有两个非常好的学生：艾伦·贝克（Alan Baker）（后来获得菲尔兹奖），只要给他出个问题，贝克就会带着一个非常好的解决方案回来。而康威呢，“只要给他出个问题，他却会带着另一个问题很好的解决方案回来。”

作为一个学生，他养成了懒惰，玩游戏，不好好工作的嗜好。他很容易被自己所谓的“书呆子的乐趣”分散注意力，影响到学术工作。他进行了一次六边形狂欢（hexaflexagon binge）（由加德纳先生提供，他在他的专栏中这样描述六边形：“由直的或弯曲的纸条折叠而成的多边形，这些纸条在弯曲时具有迷人的改变多边形表面的特性”）。他制造了一台水动力计算机，他称之为Winnie（是“水启动的无意识数值积分引擎”的英文缩写）。他阅读并注释了H.S.M.科克斯特（H.S.M. Coxeter）版的W.W.劳斯鲍尔（W.W. Rouse Ball）的经典著作《数学娱乐与散文（Mathematical Recreations and Essays）》，并给作者写了一封长信，也正因此，开始了这两位古典几何学家之间的终身友谊。

康威博士被剑桥大学聘为助理讲师，他以其高智商（且不说他衣冠不整）而在学生中享有盛誉。他讲解对称和柏拉图实体（译注：是一类用相同多边形交合而成的凸性实体）时，可能会带来一个萝卜作为道具，一次一片地逐渐雕刻成二十面体，有20个三角形的表面，一边吃削下的萝卜块，一边演讲。“在教员中，他是迄今为止最有魅力的讲师，”他的剑桥同事彼得斯温纳顿戴尔（Peter Swinnerton-Dyer）曾如是说。

同时，康威博士发明了大量的游戏---比如Phutball（哲学家足球的简称；有点像围棋板上的跳棋），并与Elywn Berlekamp和Richard Guy合作，将它们收录在《数学游戏的获胜之道（Winning Ways for Your Mathematical Plays,）》一书中。

所有的游戏---他总是呆在公共休息室里，他的办公室张贴了一张古怪的标签（译注：见本文的附件）---获得了一批忠实的研究生的支持，其中包括西蒙·诺顿，康威博士与他一起发表了“可怕的月光”猜想，研究了一个生活在196883维度空间中的难以捉摸的对称群。康威博士说：“人们意识到没有真正的原因怪物是不可能存在的。”。“但我不知道这是什么原因。在我死之前，我真的很想知道为什么怪物会存在。但我几乎可以肯定我不会找到其中的原因。”

康威博士的博士生理查德·博奇兹（Richard Borcherds）在1998年获得了菲尔兹奖，因为他证明了莫须有的月光猜想。“他太聪明了，”康威博士说。“他从来不需要我。”

在剑桥，康威博士提升为“数学教授”（其他人冠以“数论教授”等头衔，他却冠以“总包揽（the whole shebang）”）以及他的母校贡维尔和凯厄斯学院的一名编外研究员。1981年，他被任命为皇家学会会员（以“FRS（译者注：fellow of the Royal Society的简称）”的尊称，他却自嘲地说自己现在正式成为“Filthy Rotten Swine（肮脏的烂猪）（译者注：这句话同为FRS这三个字母的简写）”）

四年后，他出版了《The ATLAS of Finite Groups》，这是一本与Robert Curtis, Simon Norton, Richard Parker and Robert Wilson合作撰写达15年之久的书。它是群论中最重要的一本书，群论是数学的一个分支，是物理学家关于宇宙和自然基本力理论的核心。

同年，他被邀请到普林斯顿大学作演讲，随后就有了一份工作。1987年，他就任约翰·冯·诺依曼应用与计算数学教授。普林斯顿大学校长在宣布聘用时，称康威博士为“本世纪最杰出的数学家之一”

在美国，这位恶作剧的诱惑者康威博士开始引起媒体的关注。当《纽约时报》的一位记者问起他的思想生活时，他回答说：“大多数时候发生的事情都是平淡无奇的。你不可能经常有想法。”

1992年，他成为美国文理学院院士。另一位入选者，数学家罗伯特麦克弗森（Robert MacPherson）回忆说，在颁奖典礼上，康威博士穿着看起来像绿色运动短裤接受了这一荣誉（同年，普林斯顿大学的乔伊斯卡罗尔奥茨（Joyce Carol Oates）也获得了荣誉，尽管她从未登记过康威博士的存在）。这篇引文指出，康威博士是一位数学家和教育家，他越来越认为自己是后者。就像他喜欢说的：“如果它（译者注：it）坐下了，我就教它。如果它站起来，我会继续教它。但如果它跑了，我可能就赶不上了。”

他与艾琳·豪和拉里萨·奎因的前两次婚姻均以离婚告终。他的第一次婚姻有四个女儿，安妮、埃莉、罗西和苏西；第二次婚姻有两个儿子，奥利弗和亚历克斯；还有他的妻子戴安娜·康威和他们的儿子加雷斯；三个孙子和六个曾孙。

在普林斯顿大学，他几乎总是讲授一年级的课程，目的是说服学生成为数学专业的学生。他还提供课外活动，比如一个名为“如何凝视砖墙”的校园巡演活动。

“在普林斯顿的第一年，经常是我和他一起工作（一起玩），”康威博士的学生、现在普林斯顿的数学家曼珠尔·巴拉格瓦说。“他离去的这么快，这么突然，我一点思想准备都没有，还有很多游戏要和他一起玩呢。”

他把他的暑假---最好的研究时间---用来在数学夏令营里教书，一次做几个星期的露营者。尽管关于他的演讲含糊地宣传为“约翰·康威的演讲时刻，NTBA”（NTBA即Not to Be Announced（内容待告）），但他依然是吸引人的明星。他会接受学生的要求，即席演讲，这是他标志性的风格。

康威博士认为，数学应该很有趣。“他经常认为我们教的数学太过严肃了，”加拿大/美国数学夏令营的前执行主任、数学家米拉•伯恩斯坦（Mira Bernstein）说，该夏令营是为热爱数学的高中生而开设的国际夏令营。“这并不意味着我们应该给学生教些搞笑的数学---对他来说，乐趣是深刻的。他想把游戏性贯彻始终。”

康威博士坚持采用诸如心脏三重搭桥手术、自杀未遂和多次中风等来寻找乐趣。有时他会讲解彩虹科学，或是采用他的末日规则（Doomsday rule）计算出某一特定日子是星期几，诸如此类，会让听众兴高采烈。在π-节日（译注：每年的3月14日，因这三个数字是圆周率π的前三位数字）里，进行完背诵圆周率比赛之后，他会在吃pie饼比赛中高兴地获胜。

此外，还有诸如普特鲍尔（Phutball）这类更多的游戏，即使是康威博士发明的，他却不是好的玩家。有时，眼看一切都快输光了---有时他几乎笃定要被自己的游戏击败时，尽管会神奇地扭转乾坤---他会高兴地向马克吐温借钱，并告诫对手，大声喊道：“关于我（在游戏中）死亡的报道被大大夸大了！”

现在，我们转向本文的第三点，康威对系统科学的启示。

中国有句古诗这样说：上山千条路，共揽一天月。

这是系统科学工作者最乐于追求的境界，而康威正是以自己的天才实践，令人惊叹地做到这一点。

他手中的绳子、骰子、硬币、衣架，甚至偶尔的小衣架，他房间里悬挂的、摆放着的形形色色的各种形状的实体，还有房间里地板上所展示艾舍尔的拼图，等等，都是他想象力的道具，以此来扩展他登高的路径和阶梯。康威的足迹，业已踏出了数十条，或许更多条的登山路径，成为在山峰上触手揽月的高手、强者、和智者，一句话，魔幻般的天才。

对此，马萨诸塞州洛厄尔大学（University of Massachusetts Lowell）数学教授詹姆斯·普罗普（James Propp）的评介说得非常清楚：“康威是一类罕见的数学家，…..我最清楚的例子是他发现了球体装箱问题(sphere packing)和游戏之间的联系。这两个研究领域相互视乎毫无关联，研究的路径相去甚远，看不到他们之间的联系，这是康威通过两条不同的道路让它们走到了一起。但不知何故，通过他个性力量和强烈的激情，他让数学世界在他的意志前面低下了头。”

在笔者看来，出发点的“简单性”与可能情况的“复杂性”正是上面那个问题的共同模式。

让我们简单地讲几句“球体装箱问题”。它看似极为简单，无非是将一些相同的球体装进一个箱子里。问题是：如何装法，使得装进箱子里的球体总的体积最大？这是组合优化的一个经典问题，是对人类智慧的考验。这样说一点也不夸张，因为往大里说，这涉及到“圆”和“直”之间的协调智慧（想一想，人类对π认知过程）。往历史上说，众多著名数学和科学大家。诸如开普勒，牛顿、莱布尼茨、伯努利家族、欧拉、高斯，一直到近年的计算及新秀，再到本文的主人翁康威，都曾尝试过这个问题。更令人不可思议的是，就装法而言，“规则方式“和乱放方式”，哪一种会更好呢？这个问题也不能简单地回答。再往不同“维度“上说，从直线到平面，再到3维立体，也会碰到各种各样的问题。

这个问题涌现出的复杂性令人叹为观止！那么，康威的游戏又如何呢？

让我们看看影响超巨的、他发明的生命游戏（The Game of Life）.这款游戏的前提和规则既简单，与现实又挺吻合。先看其前提：

▼每个棋子有两种状态，正如莎翁的“To be or not to be”,或者存活，或者死亡。
▼每个棋子与以自身为中心，其周边有链接点，或链接边的，共有八个格子，其上若有棋子，就定义为该棋子的“邻居”，并产生规则性的互动。示图如下，红色是当前考虑的方格，黄色的区域是它的“邻居”方格：

▼游戏以一特定模式为开始状态，具体是什么样式，则由玩游戏者自己决定。
▼游戏没有其他对弈者，一旦初始状态决定了，游戏将按照以下规则自动进入“生”与“死”的演进，或者说迭代。

因此，为了叙述方便，一般就把棋子视为“细胞”，会有生，也有死。细胞在格子棋盘上活动，因此，这个模型也被称为细胞自动机（cellular automaton），亦称“元胞机”。

游戏的前提要素，极富系统科学品味！系统一般具有生命周期；系统通过“关系”发生相互作用，这里是“相邻关系”；系统的初始状态极为关键，这里也是。更具魅力的是，初始状态存在“无限选择”，就看玩家自己的喜好；系统自动演进，很类似于“自组织”的系统。

游戏的规则，也很简单：

1、如果棋盘上的某个棋子，其“邻居”数目少于2（不包含2），该棋子将在下一步变成死亡状态，从棋盘上消失。（康威说，由于孤独，不足以存活）
2、如果某棋子的“邻居”数是2个或3，该棋子将在下一步保持原有的状态（即存活）。（康威说，这是中性的平稳状态）
3、如果某棋子的“邻居”数超过3，该细胞也将在下一步进入死亡状态。（康威说，人口过剩，一样不足以生存）
4、对空格子而言，当它的”邻居“数目达到3时，该空格变将在下一步会诞生出一个棋子。（康威说，繁殖，是需要足够条件的）

例如，初始状态为，三个棋子横向紧连在一起，记为ABC。此时，B处于中性在状态，下一步仍存活；A，其邻居只有一个B，故下一步进入死亡状态。同理，，C亦如此。在考虑B上方的邻近空格，棋子A,B,C均为其“邻居”，故该空格在下一步会诞生出一个棋子。同理，B下方的邻近空格也同样诞生出新的棋子。因此，进入下一步后，就会出现竖直排列的三个棋子。再往下，又回到原来的初始状态。这样一个简单的排列，游戏就呈现出一种“震荡”模式，如下图所示。

让我们在深入一点分析游戏的初始状态，最简单是一种模式，如上面ABC并列样式，他会产生出“震动模式“。

此外，还有移动模式、锁住不动模式、扩散性模式  等等，只要稍稍改动一下，就会有不同的结果。而且这些模式所包含的样式，也很难穷尽。

更复杂一点，让初始模式包括多种样式的组合，先从规则样式组合开始，一旦进入到下一步，整个棋盘上棋子的“邻居“关系就发生了很大的变化，当组合的样式数目很大时，相互间的“邻居“关系，就很复杂，往下的变化趋势也就很难预测。

如果不采用“规则”样式，改为“乱放“，即随机布局的方式，情况就更是复杂。

还有，游戏的“规则“也不妨稍加变化，引发的结果一样魅力无穷。更不用说，游戏里还有个人的偏好，完全可以添加到游戏之中，设置各自喜欢的初始状态和棋盘与棋子数目的大小。

尤其，当棋盘很大很大时，棋子很多很多时，棋盘也就成了宇宙的一个“样品“了。

说到这里，再回过头去与“球体装箱问题”进行比较，两者“何其相似乃尔！

正如史蒂芬·霍金在他的《大设计（The Grand Design）》一书中所说：

“我们可以想象，像生命游戏这样的东西，只有一些基本规律，可能会产生高度复杂的功能，甚至是智能。它可能需要包含数十亿个正方形的网格，但这并不奇怪。我们的大脑中有数千亿个细胞。”

基于以上论述，我们评介Siobhan Roberts所写《天才玩家-康威的好奇心灵（Genius at Play: The Curious Mind of John Horton Conway）》，是不是值得认真阅读呢？

我们将该书的“开场白”翻译成中文，不能阅读全书，阅读它也会带来裨益的。故此，一并奉献出来。

（按语作者及开场白译者颜基义，是中国科学院大学教授 欧亚系统科学研究会会长）

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