哥德尔的思想遗产

来源:苇草智酷 时间:2022-01-17


1979年,美国一部获普利策文学大奖的著作《哥德尔 、艾舍尔、 巴赫—— 一条永恒的金带》风靡全球,书中艾舍尔(M.C.Escher)构思奇特的绘画和巴赫(J.B.Bach)脍炙人口的乐章与作者独巨匠心的笔调融合,使人们在艺术欣赏中领略了所谓“哥德尔不完全性定理”的异乎寻常,哥德尔(Kurt Godel)也似乎由此走出学院门墙进入大众视野。

一时间“不完全性”、“悖论”、“怪圈”成为一大批科普读物、文学作品中的流行语汇。然而,当哥德尔被各个领域的人津津乐道的同时,他却依旧是一个费解的谜,大多数人对他一生所思所为知之不多,更知之不确。

在20世纪数学家和逻辑学家行列中哥德尔确是一个具有传奇色彩的伟大人物。他在短短几年间使数理逻辑发生了革命,并为现代逻辑的几乎所有分支奠定了基础,为我们这个时代的数学基础研究规定了思维内涵。

30年代之后,数理逻辑始终是在哥德尔的研究成果的背景下展开的,同20世纪初人人都关心基础研究的状况形成鲜明对照,今日的数学基础逐渐向数理逻辑各分支的精细研究发展,并越益成为少数数学家的专门技术性领域。

更为重要的是,哥德尔的思想对数学、哲学、计算机科学以及算法信息论等领域都产生了深远影响,而且其潜在的科学价值还在日益彰显。

人们将哥德尔定理与爱因斯坦的相对论、玻尔(N.Bohr)的互补原理、海森堡(W.Heisenberg)的不确定原理、凯恩斯(Keynesi)的经济学、弗洛依德(S.Freud)的精神分析学、以及DNA双螺旋基因结构理论并称20世纪影响人类思想最伟大的贡献。

大多数人渴望更多地了解哥德尔,更深入地理解他的思想。但哥德尔有其独特的生活方式,一生著述不多,极少公开演讲,大部分思想记录在手稿或私人通信、谈话中。

哥德尔定理的数学外衣已经令大多数人望而却步,其思想的博大精深更让人难觅其内在义蕴,关于他的个性又流传着诸多坊间神话,因此,长期以来在他周围一直笼罩着层层神秘色彩,那些希望探求他精神世界的人往往不得其门而入。

幸运的是,1981年哥德尔去世三年后,他的妻子阿黛勒将其遗稿全部捐赠美国普林斯顿研究院,终于使世人有可能从各个角度比较全面地了解哥德尔的思想和他一生的经历。

完全出乎人们意料的是,向来被看作数学家和逻辑学家的哥德尔,从16岁第一次研读康德起就终生对哲学怀有极大兴趣,甚至40年代以后除了继续集合论问题思考并有五年时间热衷相对论外,直到逝世前几乎大部分时间都倾注了哲学研究。

大量遗稿告诉我们,哥德尔不仅以精湛优雅的数学工作为人类科学作出了巨大贡献,还以卓然深刻的思想为世人留下一笔丰厚的哲学遗产。

1979年国际符号逻辑学会理事会研究决定出版《哥德尔文集》,遂由一流逻辑学家、数学家组成编委会着手工作。1984年美国逻辑学家约翰·道森(John W. Daoson , Jr)完 成哥德尔遗稿的编目,《哥德尔文集》也于1986、1990、1995年分别出版了I—III卷,其他各卷还在陆续出版。

随着这批手稿的陆续公布,西方学界一大批逻辑学家和哲学家先后加盟研究行列,目前哥德尔思想研究已成为具有极大挑战性和诱惑力的课题。

事实上,自1931年不完全性定理问世以来,西方哥德尔研究就已拉开序幕并大致沿着几个方向展开:

(1)对哥德尔数学成果的研究及建立在此基础上的后续成果的研究;
(2)对哥德尔哲学思想的探讨;
(3)哥德尔思想对其他领域的深刻影响;
(4)关于哥德尔的传记式研究。

其中第一个方向的研究较为深入,且大多已成为数学家的专门技术性领域,而后几个方向的研究起步较晚,最近几年才成果渐丰。概览这些研究可以看出,迄今少有关于哥德尔思想,特别是他的哲学思想的较为系统的研究论著面世,王浩(Wang Hao)的《对哥德尔的反思》(1987)和《逻辑之旅》(1996)显然在这方面作了开创性工作。

作为一个逻辑学家和数学家,哥德尔一生最为关注三大数学基础问题:

(1)数学的不可完全性;
(2)数学形式系统的一致性和一致性证明;
(3)寻求解决数学基础核心问题的集合论新公理,与此相关,他获得的重大逻辑和数学成果包括:一阶逻辑完全性定理的证明;数学形式系统不完全性定理的阐述及其证明;直觉主义逻辑和算术的研究;连续统假设相对ZF公理的一致性证明。


而在哥德尔自己看来,“我心目中的所有元数学结果都是直接或间接地围绕数学的不可完全性(Incompletable)或数学的不可穷尽性(Inexaustibility)展开的。”

数学的不可完全性是哥德尔不完全性定理所揭示的最深刻的元数学本质。也正是由于这一数学定理深刻的哲学义蕴,哥德尔才被誉为“20世纪最有意义的数学真理的发现者。”“2500年来唯一堪与亚里士多德相媲美的逻辑学家”。

从这一系列数学结果的反思中也引发了哥德尔对基础研究中占据统治地位的各种哲学观的批判,并逐步建立和发展起与四大基础学派大异其趣的柏拉图主义数学观,这一点也恰是理解哥德尔数学哲学和一般哲学的基本出发点。

以罗素为代表的逻辑主义建立之初就有一个清晰的数学和经验的目标:企图建构对全部数学都通用的形式公理系统。

逻辑主义的这个目标显然部分达到了,在罗素和怀特海(A.N.Whitehead)合著的《数学原理》的系统PM中一大部分数学化归了逻辑,但这个系统没有也不可能囊括全部数学。

《初等数论基础》中希尔伯特(D.Hilbert)的一段名言显然表达了形式主义的基本主张:“我的目标是使用纯粹数学方法对所有基础问题获得最终解。”他的所谓“纯粹数学方法”是指所有定理必须有有穷证明,所谓“最终目标”就是使用有穷方法一举建立整个数学的一致性。形式主义的另一重要主张则是将一致性等同于存在性。

以布劳威尔(L.E.J.Brouwer)为代表的直觉主义批评形式系统的不恰当性,主张对逻辑算子重新加以解释并强调证明的可构造性,他们反对将一致性作为存在性的充分条件,其最终目的是要以构造性方法重建整个数学。

以哈恩(Hans Hahn)和卡尔纳普(R.Carnap)等人为代表的逻辑实证主义则否认数学中包含任何内容,主张将一切数学都化归为语法的约定,数学定理的有效性仅仅由某些使用符号的语法约定来确定,正如卡尔纳普所说:“20世纪初,在数学基础研究中,这四大派基础纲领竞争激烈无分轩轾,“哪一派也不能说服另外几派”,但共同之点都是企图一劳永逸地为数学寻求一个统一的坚实的基础。

哥德尔显然清楚这几大纲领的共同目标及其在哲学上的根本分歧,但他并未卷入当时的论战,而是潜心于大的元数学问题研究,希望为这场基础研究讼案作出裁决。哥德尔出场时,数学在基础上与19世纪已完全不同,集合论和超穷数理论已被数学家普遍接受,自弗雷格(G.Frege)初等逻辑形式系统之后又有了罗素广博的大逻辑系统PM和蔡梅罗( E.Zermelo)的公理集合论系统ZF,从严格有穷主义到严格超穷主义的整个方法论谱系业已形成。

同时,到了20世纪20年代末,命题逻辑、一阶谓词逻辑、只有加法和乘法的一阶算术这些相对贫乏的系统陆续被证明是完全的,即在这些系统中一切真命题都是可证的。甚至塔尔斯基(A.Tarski)1930年2月还曾估计,一切已知丰富的包括PM 和ZF的系统,即使不完全大概也是可完全的。希尔伯特及其他数学家的理想似乎可以实现了。

然而,此后不久,哥德尔就在1931年1月发表的《论〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题(I)》中以惊人的结论向世人宣告,这一理想无异于一枕黄粱!

哥德尔证明了,对每个丰富而可靠的数学形式系统S,第一,在S中存在既不可证也不可否证,即不可判定的命题(第一不完全性定理);第二,在S中不可证S的一致性(第二不完全性定理)。

两个定理所揭示的事实是极端残酷的,即当形式系统S丰富到足以包括初等数论,S中就存在真的却不可证的命题。即使添加更强的公理和推理规则将系统S扩张到S', 在S' 中仍存在真的但不可证的命题,继续扩张到S''、S''' 情形依然如此。

实际上,除非把这种扩张过程持续到可观的超穷序数(至少是),使其满足一个不可公理化的真理集,这种丰富而可靠的数学形式系统甚至连算术的真理都不能穷尽。哥德尔使数学家猛然醒悟:数学不但是不完全的(Incomplete),而且是不可完全的(Incompletable)。

这一事实的本质所在是,“形式系统中的可证命题与数学真理集之间永远有一超穷距离,不用超穷手段不但填不满这一距离,甚至也没有希望去逼近”。

这些惊人的数学发现不仅大大改变了逻辑学的面貌,也是他的柏拉图主义数学观赖以建立的坚实的数学基础。

更为有趣的是,按照哥德尔手稿中的说法, 数学柏拉图主义既是他的数学结果的哲学推论,又是获得这些数学结果的助探原则,同时这种柏拉图主义又能从以上两点获得合理性证据支持,而且在各种哲学争论中哥德尔都以这一哲学义蕴空前深刻的数学结果为自己的立场提供辩护。

当然,哥德尔并未止于此。我们随后就会看到,以柏拉图主义数学观为基点,他进一步将自己的哲学推而广之,试图实现从专注数论的客观主义到概念实在论的强扩张,直到形成更大范围的理性主义和客观唯心主义的一般哲学观,最终目的则是追求他始终如一的理性主义精神目标。

哥德尔的一生是一个理性主义者倾力贡献基础理论研究的一生。他毕生工作的领域是数学、逻辑学、理论物理和哲学,他所关注的焦点始终是最具根本性的基础问题。

世界是理性地构成的,而且是人类理智可知的;存在与物理世界相分离的抽象对象和概念的世界;对这些对象和概念的理解应更多地诉诸直觉。这是哥德尔毕生工作和生活的基本信念。

这些信念不仅激励他在科学上取得巨大成功,也决定了他一生对理性主义哲学的不懈追求。

按照传统的哲学分类框架,哥德尔的哲学大致可说是既与唯名论对立又与概念论有别的柏拉图式概念实在论。

依照他的看法,这里的概念与可感事物相分离构成一个客观实在的世界。历史上只有柏拉图和黑格尔等理性主义的客观唯心主义者承认这个世界,但是我们即将看到,哥德尔显然改变了这一标签的内在涵义。

同时,与大多数思想家一生立场发生多次转向、复归所不同的是,哥德尔一生从未发生任何重大思想转变,从早期观念形成,后期公开阐发论证,直到晚年反思阶段,其立场可以说是一以贯之的。“我的哲学是理性主义的、唯心主义的、乐观主义的和神学的。” 晚年,哥德尔对自己的哲学观作了如此概括。

具有鲜明个性特质的哥德尔其哲学观极为独特。他常以反叛时代精神自居,认为此一时代决不是产生好的、科学的哲学的时代,但对古希腊的柏拉图(Plato)和近代的莱布尼兹(Leibnize)却情有所钟。

与“哲学事业是捕捉时代精神本质” 的见解相反,他认为哲学的功能除了指导自然科学外,更重要的应当是追求基本真理,探究世界的真义,一句内蕴深刻的断言“世界的意义就在于事愿分离(或事与愿违)(The meaning of the world is the separation of fact and whish ) ” 显然道出了哥德尔自己对世界真义的独特领悟。

从目前已公布的著作、手稿和他人的转述中我们了解到,哥德尔的思想大致可划分为以下几个部分:

- 以揭示“数学的不可完全性(Incompletability)”本质为核心的元数学思想;
- 理性主义和客观唯心主义一般哲学观;
- 柏拉图主义数学哲学;
- 关于时间-空间的物理学哲学;
- 反对算法主义的心-脑-计算机理论以及宗教形而上学。(完)