一、研究背景和主要内容

随着保险市场的蓬勃发展及金融市场的日趋复杂，投资管理与风险防控成为了保险行业备受关注的研究课题。如何选择最优策略，在最大化保险公司投资收益的同时达到最优再保险的目的，成为了每一个保险决策者高度关注的问题。

然而，目前关于最优投资和再保险的研究都是假设保险公司的决策者能准确地知道金融模型的真实概率测度。但是众所周知，全球经济和金融动态的复杂性使得这一完美假设在实际金融市场中很难真正实现。用于描述金融模型的概率测度通常是根据已有数据进行估计得到的，而由于市场变动的统计和随机性质，估计的特定概率测度往往存在相当程度的估计误差，即具有很大的不确定性。这种由于缺乏有关概率测度信息而引起的不确定性被称为模糊性（也称之为模型不确定性），模糊性对保险公司的投资决策有至关重要的影响。对于再保险通而言，常承保的是巨灾风险，可用的历史数据较少，使用单一的概率测度很难准确地刻画真实的索赔过程。因此，在模型不确定的情况下，寻找一种合适的方法来设计稳健的再保险合同，使该合同能够有效地保护保险公司和再保险公司是非常重要的。

另一方面，目前关于最优投资和再保险的文献大多只是基于当时（即决策时）的信息来确定相关最优策略。但是在实际投资市场中，投资者或者保险人的决策不可避免地会受到过去投资信息的影响。在进行最优投资策略的分析时，将过去的投资信息纳入到研究模型中，即考虑时滞效应下的最优投资策略，不仅可以帮助投资者做出更合理的投资决策，而且更加符合投资者的实际金融投资行为。到目前为止，金融领域的相关优化问题已经取得了丰富的研究成果，但基于带时滞效应的模型来考虑最优再保险研究仍受到较少的学者关注。

同时，仔细研读文献还可以进一步发现：上述针对投资再保险问题的研究多是基于单个保险公司的投资再保险行为，没有考虑到保险公司之间日益激烈的市场竞争关系。而随着金融市场的发展，保险公司作为机构投资者，面对行业中的众多竞争者，在制定策略时需要充分考虑其竞争对手的行为来权衡投资收益与风险。因此在现实金融市场中，保险公司之间金融行为相互独立的假定往往是不符合市场实际的，保险公司不仅关注自身绩效，通常还会趋向于比较自身与同行业竞争者绩效之间的差距。比如保险公司决策者在进行决策时，往往会倾向于选择在行业中排名较高的公司进行投资和购买再保险。这意味着，保险公司在行业内的排名会极大地影响到其投资和承保业务的发展，而保险公司的排名又受到其投资收益率、资产规模等各项财务指标的影响。因此保险公司在资产管理上存在着强烈的竞争关系，每家保险公司都必须想办法比其他公司表现得更加出色，尽量拉大与同行业其他竞争者之间的财富差距，以吸引更多的投资者。

综上所述，国内外关于随机微分投资与再保险策略问题的研究虽然取得了较为丰富的研究成果，但多是仅考虑模糊厌恶，或者仅考虑时滞效应，其适用范围均存在一定的局限性。基于此，本文将模糊厌恶和时滞效应一并纳入研究视线，并研究两家相互竞争的保险公司之间的投资与比例再保险问题。在考虑再保险时，再保险保费按照期望保费原理计算；考虑投资时，风险资产服从Black-Scholes随机微分过程。

因此，本文研究的目标是：以最大化保险公司的相对绩效为目的，求得模糊厌恶和时滞效应影响下的投资再保险策略，并给出相应的值函数。本文针对经典Cramér-Lundberg模型的近似风险扩散过程，得到了均衡投资策略和比例再保险策略；分析了结果的经济意义，并通过数值算例研究了时滞系数、模糊厌恶水平、保险公司对竞争对手财富的敏感度等模型参数对均衡再保险策略和均衡投资策略的影响。

二、模型阐述

本文考虑由两家保险公司构成的保险市场。为了分散承保风险，保险公司通过购买比例再保险的方式将索赔风险部分转移给再保险公司。假设保险市场中有一家再保险公司，两家保险公司可以连续地向再保险公司购买比例再保险。设保险公司 的再保险策略为 ，即对于 时刻发生的每份赔付，保险公司 承担的保单赔付份额为 ，余下的份额 由再保险公司承担。假设保险公司和再保险公司均根据期望保费原理计算保费。另一方面，为了实现财富的保值增值，保险公司会对盈余进行风险投资。假设金融市场是无摩擦的并且其交易成本为零，存在一种无风险资产（如银行存款账户）和一种风险资产（如股票），则保险公司 可以在该金融市场中进行连续投资。设二元组 表示 时刻保险公司 的投资－再保险策略，其中 表示保险公司 在 时刻投资到风险资产上的资金。

在保险实践中，保险公司的投资与再保险决策往往受到过去的资金流入/流出影响，例如，如果保险公司在过去一段时间内经营良好，那么公司收益自然会增加，则公司会将部分收益用于股东分红或者对管理人员进行嘉奖，这与资本外流的情况相对应。反之，如果保险公司过去一段时间的经营业绩不佳，为了完成期初的目标，公司往往会注入资金或筹集资金以弥补相应的损失，这与资本流入的情况相对应。因此，在描述保险公司的财富过程时应加入考虑时滞效应，即将过去时间段内的平均业绩和点业绩也纳入到财富过程中。

同时，金融模型的风险测度也至关重要，因为模型测度的准确与否直接关系到投资策略的成败。目前在针对非零和投资与再保险随机微分博弈问题的相关文献中，通常都假设保险公司是模糊中性的，但是经济和金融形势的错综复杂，导致金融市场中充满了各种风险和不确定性因素，而保险公司对市场风险或市场不确定性的态度会影响到其投资与再保险决策。因此，本文进一步考虑模糊厌恶（ambiguity-aversion）的保险公司的最优决策，将模糊中性环境下的投资再保险模型转换到模糊厌恶环境下（即模型不确定环境下），研究模糊厌恶决策者的均衡投资再保险策略。假设保险公司的风险资产过程和索赔过程可以用一个理想模型（或者参考模型） 来描述，由于模型存在着不确定性，为了求得最优策略，设置一组可替代测度 来刻画保险公司的备选模型，并设置不同概率测度之间的变换来体现备选模型与理想模型之间的差异。

本文在相对绩效关注（relative performance concerns）下考虑两家保险公司之间的竞争问题；进一步地，综合考虑模糊厌恶、时滞效用和相对绩效关注这三个因素对保险公司投资再保险决策的影响。假设每家保险公司都希望最大化其相对财富在终端时刻 的期望效用，则可将最优投资与再保险问题转换为一个非零和随机微分博弈问题。运用微分博弈理论和随机最优控制理论，通过求解相应的HJB方程，得到了模糊厌恶和时滞效应下基于指数效用的均衡投资与再保险策略以及值函数的显式解。最后结合数值算例仿真分析了模型参数变动对均衡策略的影响。

三、模型结论及政策建议

本文通过算例仿真分析均衡投资策略和均衡再保险策略随参数变化的灵敏度，可以得出以下结论：

（1）均衡再保险策略和均衡投资策略均关于 递减。 越大，意味着过去一段时间保险公司 用于分红或者奖励的资金就越多，即资本流出越多。自然地，保险公司 会减少购买再保险合同；相应地，保险公司 投资在风险资产上的财富会减少。

（2）均衡再保险策略和均衡投资策略均关于 递减。 反映了过去一段时间的财富所占的权重。 越大，较早时间的财富值所占的权重越大，表示保险公司会更多地考虑过去一段时间的投资情况。则保险公司从降低风险的角度出发，会选择购买更多的再保险，从而自留较小的风险。同时， 越大，则保险公司 在投资上表现得更为理性，会谨慎将资金投资在风险资产上。因此也可以看出，是否将时滞信息纳入决策分析中将会在很大程度上影响到保险公司最终的均衡再保险策略和最优投资策略，这也进一步说明，将时滞效应引入到投资再保险问题的研究中是非常有实际意义的。

（3）均衡再保险策略和均衡投资策略均关于竞争系数递增。竞争系数 越大，意味着保险公司 越看重与竞争对手之间的相对业绩差距，即越看重自己在行业评估中的业绩排名。因此为了在竞争中获胜，保险公司 会为了获得更大的财富而选择宁愿承担较大的赔付风险，即选择降低购买比例再保险合同的份额。同时，随着竞争系数 的增加，保险公司 的均衡投资策略 也会相应增加，反映了在竞争的市场环境下，为了获得更高的业绩排名，保险公司 会在攀比心理的驱使下，更倾向于采取冒险行为，非理性加大对回报率更高的风险资产的投资。

（4）均衡再保险策略关于 递减。 越大，表明保险公司 对其承担的保险风险的模糊厌恶越高，意味着他们对未来赔付过程中将可能发生的不确定性风险越“害怕”，所以他们在再保险策略上会倾向于采取更保守的策略。因此，模糊厌恶系数越高的投资者在最优再保险策略的选取上，为了将赔付过程的不确定性风险更多地转移给再保险公司，会趋于选择承担较低的保单赔付份额 ，即选择较高的再保险比例，。

（5）均衡投资策略关于 递减。 反映了保险公司 对市场投资回报不确定风险的模糊厌恶态度。 值越高，表明保险公司对由于金融市场的复杂多变所导致的风险资产价格过程的不确定性风险越“害怕”，因此会越倾向于选择更保守、谨慎的风险投资策略。

综上所述，本文研究结果显示，保险公司对市场投资回报风险和对其承担的保险风险的模糊厌恶（或者说对市场投资和保险风险的不确定性）越高，则在投资和再保险决策上越趋于保守；保险公司越看重过去一段时间的财富情况（或者说过去一段时间的财富业绩在保险公司的最终绩效中占据的比重越大），保险公司也会倾向于采取更理性和保守的策略；相反，保险公司如果对市场竞争越看重（或者说越看重自己在行业中的业绩排名），则越倾向于采取激进和冒险的投资再保险决策。

本文摘编自《系统工程理论与实践》第41卷第6期论文《考虑模糊厌恶和时滞效应的随机微分投资与再保险策略》，点击链接下载全文：http://www.sysengi.com/CN/abstract/abstract112771.shtml

作者：宾宁，广东工业大学管理学院讲师,博士,研究方向:动态博弈理论及应用,保险精算等；通讯作者，朱怀念，广东工业大学经济与贸易学院副教授,博士,研究方向:动态博弈理论及应用,保险精算等。