《阿诺德-迎着大潮而上的泳者》按语
——阿诺德,科研与教学同样辉煌的伟大数学家
他,是一位数学家,出生在敖德萨,成长在莫斯科,年少成名,之后旅居西方法国和美国,名叫阿诺德(VLADIMIR IGOREVICH ARNOLD 1937-2010)。
说他“科研辉煌”,是指他的研究大多是“从0到1”式的突破,因此拿奖多多,从前苏联的最大奖项-列宁奖(1965年),到西方的沃尔夫数学奖(2001年),以及邵逸夫科学奖(2008),涵盖领域之广,获奖之多(著名大奖达十余项),在当代数学界是很罕见的。
说他“教学辉煌”,具有两个方面的特殊含义:
其一,“教学”一词,在不少人眼里,是不屑一顾的,只顾全力以赴地写论文、拿课题、争衔头。而阿诺德偏偏不一样,它身体力行,切实关注学生和年轻人,除了撰经典般的教科书外,并不忘却用身边的事例,讲解数学的魅力和伟力。例如,他用母语写了一本书,经人翻译为英文,书名是《Mathematical Understanding of Nature-- Essays on Amazing Physical Phenomena and Their Understanding by Mathematicians(用数学理解自然---数学家对惊人物理现象的阐述和理解)》(以下简称《理解自然》)。书中共39章,包含的问题,从彩虹、海市蜃楼、自行车、旋转的液体,直到绝热不变量、力学不适定问题等等,彰显出他那好奇心的胸怀,广阔的视野,化解问题的强力,令人叹服!
例如,他曾通俗地讲解了“船舶靠岸”问题,为了避免船舶与堤岸碰撞,稳妥的办法就是让船舶的速度设计为距离的平滑(线性)函数,也就是说,船舶离堤岸越近。其速度就越慢。从理论来讲,这样永远也抵达不到堤岸(如同庄子说的,尺长之棰,日取其半,万年不竭。),从而需要人工加以协助。他说,这类问题,看似平常的很,但是到了自动控制时就成了须认真对待的大问题,如火箭在其他星球着陆,飞船与空间站对接等。这样的联想和引导,令人脑洞大开。
其二,“教学”一词,紧扣人才,是指阿诺德对人才的期望是迫切的,见解是独到的,付出是很具体的,导向是到水平的。对此,他专门写了一本书,为热爱数学的青少年,精心挑选了数学问题,用以提升这些人的数学素养。该书书名是《Problems for Children from 5 to 15(献给5至16岁少年儿童的数学问题)》(以下简称《数学问题》)
阿诺德在书中语重心长地说,“我深信,这种文化(译注:指俄罗斯的传统思维文化)最重要的培养路径,就是通过早期对类似于下面的简单但不容易的问题,进行独立思考培养出来的。”在这里面有两点很特殊,一是强调自己民族的文化传统,二是并不歧视数学成绩不好的孩子。他是这样鼓励这些往往容易自卑的少年:“我的长期经验表明,在学校落后的傻瓜,在解决问题上,往往比优等生更好,……我还注意到,五岁的孩子与那些被教练宠坏的学生相比,能更好地解决类似的这些问题,…..”
我翻阅这本书时,曾心生疑问:为什么是从“5岁”开始?上面引用的阿诺德那句话,便回答了这个问题,原来,他依据的正是他自己的切身体验,包括从记事的5岁时开始。
这是一位教授,了不起的教授,真真正正的教授。他在学校里,在社会上始终不忘献身教育事业,身传体教,孜孜不倦,他直接培养的几十位博士生,至今活跃在世界各地,一个个都成为了学界的中坚,而受其影响的学生,就更是不计其数了。
一、那墓碑,竟然像一块黑板
我第一次看到阿诺德的这块墓碑(见图1),足足愣了好几分钟。这哪里是墓碑啊,上面根本就没有什么“千古”啊,”不朽“啊,这类俗套的文字。恰恰相反,上面密密麻麻写满了数学符号啦,公式啦,几何图形啦,还有横七竖八的句子,以及整段引用的文字等。在我的眼里,这墓碑,分明就是矗立在大地上的一块黑板。
阿诺德,他在生前,做出那么多令人赞叹的数学成就,离世之后,能有这样的举动,同样也是惊世骇俗的。因为,这似乎是在提醒人们,他永远在践行着一位教师的责任,不分白天与黑夜,不停顿地思考着、比划着、叙述着,向人们讲述着迷人的数学故事,……。
图1 阿诺德的陵墓(在莫斯科) 来源 《阿诺德》(下同)
这张图片出现2014年出版的《Arnold:Swimming Against the Tide (阿诺德:迎着大潮而上的泳者)(简称《阿诺德》)这本书里。该书是阿诺德2010年去世之后,他的学生与朋友出版的纪念文集,并包括阿诺德本人的一些著述。
请注意,墓碑上阿诺德雕像下方,刻有一段文字,看似俄文。《阿诺德》的编者,在提供这张图片时,附上了这段俄文的英文翻译:
The inscription on the tombstone is from Arnold’s paper about Pushkin. It reads: “As a mathematician, I constantly have to base my work not on formal proofs but on feelings, guesses, and conjectures, going from one fact to another by means of a special kind of illumination which allows me to see common traits in phenomena that to an outsider appear totally unrelated.
其内容是来自阿诺德关于普希金的论文:“作为一个数学家,我不得不经常地将感觉、猜测和推测,而不是将形式上的证明,作为自己工作的基础,并借助于特殊一类的阐释,让我从一个事实转移到另一个事实,从而让我看到了现象的共同特征,而这对于局外人来说,这些现象却是完全不相干的。”
我在研读有关阿诺德资料的过程中,并没发现他与诗歌,与诗人普希金的关系。作为诗歌的业余爱好者,这段文字更加强了我研读阿诺德的兴趣。遗憾的是,我并没有搜索到进一步资料。然而,墓碑上,这短短的几句话,已经很清晰地把数学与诗歌的共特征,讲得很清楚、很深刻了。
阿诺德在1995年接受采访时(采访内容于1997年登载在美国数学学会的杂志《NOTICES》四月刊上),他曾这样描述俄罗斯知识分子精英群体的胸怀:
“俄罗斯人对知识、科学和数学的态度一直保持着俄语“Intelligentsiya"这个词的古老传统。这个词在其他语言中是没有的,因为在其他国家不存在一个类似的由学者、医生、艺术家、教师等组成的阶层,他们永远把为社会作贡献为先,个人名利在后。”
就年龄而言,笔者与阿诺德属于同一时代,我年轻时也读过普希金的诗歌,对这个诗人的抱负,以及关于俄罗斯民族的看法多少有一些了解。因此,当我读到上述那段文字后,我便进行这样的思考:阿诺德与普希金这两个不同领域的“大人物”,具有哪些“共同特征”呢,不仅仅在诗歌与数学的表述形式上,而且在共同的情怀上?
普希金比阿诺德早100几十年,曾以《论俄罗斯文学之贫困》为题,站在世界文化的高度,深刻地评述了俄罗斯民族的历史遗憾:“如果说,俄罗斯文学没有提供多少值得文学批评界瞩目的作品,那么他自己(就像人类历史任何其他现象一样)就应该去吸引那些严谨的探索真理的人的注意。”紧接着,普希金又指出“俄罗斯长期置身于欧洲大局之外。”这样的一个悲酸的历史事实。普希金这段论述,具有一种气概,是挺身而出,以自己的作为当成担当的民族气概,这一点实在弥足珍贵,令人佩服和仰视!
在上面提及的那次采访中,阿诺德谈到他在巴黎申请美国签证时的遭遇,当得知签证要延时三周后,他便问签证官“为什么?”,回答是, 你被列入“donkey (驴子)”之列进行审查。他对采访记者深情地说,我是“驴子”啊,这就是他们对俄罗斯科学家的别称。要知道,那时阿诺德已经是世界知名的数学家了,而且他在前苏联时期,也因讲了不少公道话,受到当局的审查。
对此,我们可以设想,普希金上面那段话语,即“那么他自己就应该去吸引那些严谨探索真理的人的注意。”,极有可能(我说的之是可能,因为并没有直接的论据)在阿诺德内心深处,会引发何等强度的共鸣。是的,一个民族要其他民族尊重自己,就要自己首先能站立起来,并努力地要站得得更高。事实上也的确如此,阿诺德和普希金,他们都以自己的智慧、担当和努力,做出了让世界瞩目的成就,赢得了世界的尊重。
那块如同黑板一样的墓碑,正是数学大师一生献身数学教育事业的生动写照,着重于阿诺德对教育的分析和看法,正是本文的主旨。下面,我们将以他成长的高光亮点,以及对培养人才的杰出作法等,进行简要的评介,供人们思考和借鉴。
二、飞快成长的高光亮点
1、五岁时,对数学的兴趣开始萌动
他说,自己记忆里,从五岁开始就对数学产生兴趣。他解释说,这是俄罗斯数学传统带来的结果。那样年纪的孩童,尽管对数字一无所知,但是对一些数学问题,却非常喜欢。更令人不可思议的是,他不仅喜欢,还可以求解,给出答案。阿诺德是这样,他的同学,也大都是这样。正因此,阿诺德《数学问题》这本书的对象,恰恰是要求从“五岁”开始。
2、兴趣的“引擎”在“DNO”中获得加速推力
孩童的兴趣,来得快,去得也快。因此,如何精心维护,是很敏感、很关键的问题。
阿诺德说,前苏联继承俄罗斯的文化传统,非常重视青少年,尤其是对聪明超群的儿童,进行数学思维的培养。“儿童学习联谊会(Children’s Learned Society)”是专门针对超群少年的组织,简称“联谊会(DNO)”。从小就被称为“神童”的他,参加了在数学家李雅普诺夫的家里组织的这个“联谊会”。这听起来有点像现代化的“私塾”,但学习的内容却很全面。在DNO学习的课程,包括数学和物理,还有化学和生物学、遗传学(后者因政治原因后来被禁止讲授了)。
他叙述了对他启蒙教育颇有影响的一件事情。十二岁时,学校老师给他布置一个“路人求时问题”:两位老妇人同在日出时出发,每人以不同速度匀速相向行走。一个从A到B,另一个从B到A。他们在中午真好相遇,然后继续前行,分别于下午4点,晚上9点抵达各自的目的地,问日出是什么时候?
阿诺德说,他花了一整天的时间思考这些老式数学问题,最后解决了,非常高兴。因为当时他们还没学代数,是凭借思考推理和判断解决的。从此,这给他留下了一个重要启示,并影响其一生。因为,长大后所碰到的数学大问题,其解决的基本套路,和这个问题几乎一样:在新问题之前,没有现有的方法可以依赖,完全先靠思考推理,后靠数学演绎硬闯出一条大路。正因此,阿诺德将这个问题,收入《数学问题》一书中,希望年轻的后来者,也能同他一样,掌握这样的思维智慧。
在《阿诺德》一书中,他的同学形容阿诺德解决数学问题的方式,说他对于一个新问题,开始总是”赤手空拳”去应对,经过一番思索和推演后,便能拿出了一套套崭新的方法。
笔者细细寻思,阿诺德的“路人求时”问题,与我国古代的“鸡兔同笼”、“韩信点兵”等问题也是一样的。例如就“鸡兔同笼”问题而言,也是通过思维推理,把问题转变为熟知的认知,如利用乘法与面积关连起来,再利用传统中国传统数学的“出入相补”的办法,一步步将问题简化,最后导出答案。那其中的思维乐趣和作用不是后来的代数方程式的解法可以完全取代的。
阿诺德说,这让他受用了一辈子。60多年前华罗庚先生给我们讲高等数学时,不忘给我们讲“韩信点兵”,同出此理,睿智满满。
图2 阿诺德(前左二)于1948年与同学在“少年学习联谊会”
3、大师如云的求学”黄金年代”
阿诺德于1954年进入莫斯科大学数学力学系学习。他回忆说,这么多的大数学家云集在同一个系里是很罕见的,这种盛况我再也没有在其他地方见到过。Kolmogorov, Gelfand, Petrovsky, Pontryagin, P Novikov, Markov, Gelfond, Lusternik, Khinchin and P S Aleksandrov等,都在教我们这些学生,这些教授们,一个个都非同凡响。
是的,这些如雷贯耳的名字,我们在上大学的时候就很熟悉了。因为,华罗庚先生给我们上课时,他是一边讲课,一边写讲义,对于我们的启发非常大。但是课后离不开去图书馆里看参考书,这些从前苏联翻译过来的教学参考书几乎都是绿色封面的,我们都简称为“绿皮书”。阿诺德能够直接在这样的开放的、浓浓的学术环境里学习,在学识上打下了面广根深的扎实基础,让他早早地就进入数学最前沿的大问题。
4、博士论文拿下世界级的希尔伯特问题
阿诺德在大学三年级时,在他的导师科尔莫戈罗夫的启发下,开始研究希尔伯特第十三个问题,涉及到几个变量的函数的叠加以及相关的变换,难度很大。这项工作最终成为阿诺德的博士论文。
人们都知道,希尔伯特在1900年提出的23个问题,是公认指导世界数学发展的重要导向,每一个问题的解决,哪怕是部分解决,都会在世界上引起强烈反响。
美国数学家兼慈善家Jim Simons创办了Simons Foundation,致力于支助在数学和物理学领域有前途的青年才俊,其中也有中国年轻的留美才俊。在其网站上展示了希尔伯特23个问题至今进展情况。关于这个第13问题,明确记载了阿诺德的研究成果。此外,一些著名大学,如剑桥大学开设了专题课程,讲解阿诺德和他的导师科尔莫戈罗夫关于希尔伯特第十三个问题的研究方法和影响。
此外,根据阿诺德的同级学友回忆,在莫斯科大学时,他还在私底下自己重现了法国数学家伽罗瓦建立群论的路径,而在这之前,他根本没有看到过伽罗瓦的资料。在科研上,阿诺德的原创冲击力之大,由此可见一斑。
2002年,当阿诺德65岁的时候,《华尔街日报》从科学研究和教学成就两个方面,给予了很高评价:
“阿诺德是世界上最优秀的数学家之一,……如果没有他在动力学系统、经典力学和天体力学、奇点理论、拓扑学、实代数几何, 以及代数几何、辛几何、流体力学、变分微积分、微分几何、势理论、数学物理、叠加理论等方面的工作,现代数学的面貌将是无法辨识。”我掰着手指头数了一下,这段短短的评论中一个个点到的领域一共多达14个之多,要知道,每一个都是很不容易对付的领域。
对于阿诺德在教学上贡献,同样评价极高:“阿诺德是一位难得的教师,……他有一个特殊的天赋,善于发现新的美丽的问题,让年轻的研究人员倍感兴趣,欣然投入其中。……那些困难的现代理论一旦经他论述中,立即变得清晰和简单……。”
三、阿诺德关于的数学研究与教学的主要观点
1、数学研究的对象,是“充满活力的有机体”
阿诺德之所以这样说,因为,他非常看重数学与物理的紧密关系,认为后者会给前者带来极大刺激与活力。他甚至说“数学是物理的一部分。”
他把数学的定理、问题、猜想和理念,甚至错误,等生动地比喻为生长在地面上的蘑菇,以及地表之下土层中的相关因素,并用图表示如下:
图3 数学理念蘑菇图
阿诺德这样解释说:“当你采集蘑菇时,你只看到蘑菇本身。如果你是一个真菌学家,你便知道真正的蘑菇是埋在地底下的。地表下面有着一大堆东西呢,你所看到的仅仅是果实,你想要吃的东西。
数学正是这样,蘑菇的地表上的部分对应于你看到的定理,可是你却看不到地表下的东西,那是问题、猜想、错误、想法等等。”
阿诺德把这归功于民族的传统,他说,“这是俄罗斯的数学传统。”他的导师这样影响了阿诺德,然后他又影响他的学生,以致学生的学生。人们绝不会想到,科尔莫戈洛夫进大学时本不是学数学,而是学历史的。人们也不会想到,科氏领导的讨论班,几乎都有物理领域的优秀学者一起来参加讨论。因此,阿诺德将俄罗斯与西方做了这样的对比:“一个学者涉猎较广,在西方学界会看成一大缺点,而在俄罗斯恰恰相反,一个学者研究领域太窄,却会看成不足。”这是俄罗斯学术传统的明显特点,即便在文化上受到孤立的状态下,仍然能培养出不少伟大的数学家。
值得指出的是,阿诺德明确反对在数学教学中只强调抽象逻辑推演,甚至大力抨击,其对象从布尔巴基学派,直至现今法国最高数学学府。在笔者看来,这种抨击做得过分了。布尔巴基学派虽然后来式微了,但是同样涌现了一批伟大的数学家。更不用说,该学派在哲学理念上的“整体论”,在结构上努力构建各个分学科的“互通关系”,也是系统科学极其重要的理念宝藏。
2、注重几何拓扑的洞察力
毫无疑问,逻辑推理的思维能力,在数学研究中具有重要的作用。但是阿诺德认为,这远远不够,还得依靠几何带来的“洞察”能力。他还强调,只有这样才能充分发挥人体大脑两部分的能力。他在大学听科尔莫戈洛夫讲课时,就发现有地方推演过不去。他的导师说,好,你给补上。结果阿诺德就把这个漏洞“补”上了,而且解决了大问题。
他的学生在回忆中说,同学们都深深记得,阿诺德告诉他们的“诀窍”是:在逻辑推演寸步难行的时候,好好去想想它的几何拓扑问题。本文中提及阿诺德写的书,都是“图文并茂”的,那些清晰、透彻的几何图形,都是他亲手绘制的。
3、引领学生做从“0”到“1”的原创性大问题
图4 阿诺德与他的学生在一起
阿诺德与学生交流,都是以研讨会的形式进行,每周一次,每次两小时。每学期研讨会开始的时候,都是选定相关的开放性问题,即尚没解决的大问题。阿诺德一生,精心挑选了多达十几个这类开放性问题。他说,一个问题的“半衰期”大约是7年,二十多年(注意,不是三五年,而是二十多年)坚持下来,这些问题后基本上都被解决了,或部分解决了。这是多么了不起的事情。他风趣地说 “为他们选择一个问题,就像为儿子选择新娘一样。”他以这样方式,体现出对学生的真正慈爱,令人动容和敬仰。
他,就是这样引导学生打开了一扇又一扇,从“0”到“1”数学创新的大门。更令人感动的是,在论文署名上,他几乎从不添加上自己的名字,因为他认为,我把问题交给学生了,主要应该由他们自己去做,去完成。
一流大师难求,这样的一流导师,更加难求啊!
4、深入浅出的讲课之道
这一点,对于打破数学的“神秘感”,让更多人理解数学,喜欢上数学是非常重要。对此,他特别举了法拉第(M. Faraday)的一句名言:
“Lectures which really teach will never be popular; lectures which are popular will never teach. (正经巴儿地讲课从来不会受欢迎,而受欢迎的讲课从来不正经巴儿)。”
阿诺德进一步说,“这种法拉第效应很容易用玻尔的说法来解释:清晰和真实,乃是量子互补关系。”也就是说,要以“清晰”的浅出,确保“真实”的深入。
以笔者自身的从教经验来看,“不正经巴儿”的讲课,那就是,在讲解“知识(即真实)”的过程中,关键在于同时传递好“智慧(即浅出)”。在具体做法上,这要根据具体内容和讲课人背景而定,如强调来龙去脉、突出难点跨越、给出跨界应用等,不仅要引发听众的兴趣,更要引领听众的视野。
5、个性勇猛、坚毅、顽强
在《阿诺德》一书中, 他的大学同学回忆到“在我的一次访问中,有人给我看了一个在建筑物后院的帐篷,阿诺德就在那里过夜,即使在寒冷的天气里。”在莫斯科的寒冬,户外是相当寒冷的,但是对于他住帐篷一事,他从来没有向同学提及过。
阿诺德从年轻时开始,就一直酷爱旅行、爬山和滑雪,一次滑雪往往长达二、三十公里。他的同学讲了一个非常奇特的经历:
“有一次,在高加索山脉爬山,我们和一些牧羊人在他们的帐篷里度过了一夜。早上我们发现牧羊人走了,留下我们和他的狗群在一起。高加索的狗,个体巨大、强壮,而且凶猛,因为要被培育和训练它们来和狼对抗。我们被这些狂吠的狗包围着,我们不知道该怎么办。突然,阿诺德有了一个主意。他开始用他能想到的所有猥亵的话对着这些狗大声吼叫。…..”意想不到的是,这竟然把这些凶狠的狗给“震“住了,“坚持到了主人回来,大家得救了。”
这一幕,让人们从阿诺德身上,看到了“战斗民族”那勇猛的影子。
图5 阿诺德在郊野
阿诺德说,“严肃的数学研究需要长距离赛跑的耐力“,每每当他思考感到疲倦时,就跳下楼去,或去滑雪,或去游泳,或去爬山等。他回来后,又充满精力投入数学怀抱。
当俄罗斯《Kvant》杂志(译注:一个对俄罗斯青年学生影响很大的数学文化杂志,意为“量子”)采访阿诺德时,婉转问他,前苏联的政策对数学和科学带来了什么影响和变化?他引用了克雷洛夫的寓言《橡树下的猪》来作为回答。并指出“20世纪30年代和40年代,数学在这个国家受到了影响比其他科学要少一些。”虽说,他当年所处的莫斯科大学的盛况已难以重现,但是很多有志有为的知识分子投身到他们喜爱的研究工作之中,金钱虽然不多,但是“Money,not all!(金钱嘛,无关大局)“
阿诺德这些话,不禁让我想起佩尔雷曼(Grigori Perelman),这位拒绝领取菲尔兹大奖,与世界主流学界文化“逆向”而行的俄罗斯青年数学家。
该杂志在访问阿诺德之后,将克雷洛夫《橡树下的猪》这个寓言,改写为散文诗,附在采访文稿的最后,我便将此诗歌翻译成中文,作为本文的结尾。
图6 橡树下的猪 来源:网络
The Hog Under the Oak
A Hog under a mighty Oak
Had glutted tons of tasty acorns, then, supine,
Napped in its shade; but when awoke,
He, with persistence and the snoot of real swine,
The giant’s roots began to undermine.
"The tree is hurt when they’re exposed.”
A Raven on a branch arose.
"It may dry up and perish—don’t you care?”
"Not in the least!” The Hog raised up its head.
“Why would the prospect make me scared?
The tree is useless; be it dead
Two hundred fifty years, I won’t regret a second.
Nutritious acorns—only that’s what’s reckoned!”—
“Ungrateful pig!” the tree exclaimed with scorn.
“Had you been fit to turn your mug around
You’d have a chance to figure out
Where your beloved fruit is born.”
Likewise, an ignoramus in defiance
Is scolding scientists and science,
And all preprints at lanl_dot_gov,
Oblivious of his partaking fruit thereof.
橡树下的猪
橡树下的一只猪
用美味的橡果填饱了大肚,然后,仰卧着,
在树荫下入睡打呼;一旦醒来,
他,不屑一顾,气壮声粗,
硕大的树根,始有摇动。
“树干皮破,大树怎样维护?”
一只乌鸦在树枝上叫着。
“天不下雨,树会干枯——你怎不担心生路?”
“一点也不!”猪抬起头说。
“今后的日子,有什么好畏惧?
大树已没用处,就让它死去;
哪怕两百五十年,我一秒钟也不加思顾。
只有那营养丰富的橡果——才是我心爱之物“—
“忘恩负义的,猪!”树轻蔑地哼道。
“你转过身来看看
就不会如此糊涂
便知果实生长在何处。"
一个同样无知的蔑视者
把指责对着科学家和科学,
也对着那些文本资料,种种蓝图
却不记得,你自己曾享用果实无数。
图7 阿诺德背影
尾声
望着远去的背影,
追问阿诺德:
背包里,还装有何物?
手中的稿纸,又是哪个难题的蓝图呢?
(按语作者颜基义是中国科学院大学教授 欧亚系统科学研究会会长)
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