摘要：如果按照泡沫的定义，股价泡沫识别的本质上需要对“基本面估值正确”和“价格偏离基本面具有系统性”进行联合检验。然而这两个命题往往相互制约，使得泡沫识别面临着二难逻辑困境。不少学者们尝试绕开泡沫定义，基于投机行为的假设来推导泡沫价格所应满足的随机过程，进而围绕这些随机过程的统计性质开发泡沫的识别方法。然而，目前的随机过程模型对泡沫形态的限制性较强，忽略了很多的泡沫形态，导致泡沫识别的灵敏度不高。另外，大部分此类模型缺乏对泡沫崩溃风险率的动态建模，使得对泡沫的实时预警往往缺乏理论支持。为了克服传统随机模型的这些不足，本文提出了一个新的股价泡沫动态模型。由于该模型的解服从倒数化的Cox-Ingersoll-Ross (CIR)过程，因此简称为逆CIR泡沫模型。该模型理论含义明确、数理形式简约、统计估计便捷。本文证明，该模型能兼容传统泡沫模型的非线性风险溢价和价格暂态超指数膨胀特征。同时，逆CIR模型能够解释传统模型所无法解释的一些泡沫实证效应：泡沫崩溃前“暴雨前寂静”现象和高位滞涨现象。另外，此模型包含内生且具行为金融解释的泡沫崩溃风险率，可作为实时预警指标。本文给出了崩溃风险率的计算方法——求解高斯超几何函数方程。对我国股市2015年泡沫崩溃的风险率实证表明，该模型具有良好的识别和预警效果。
关键词：股价泡沫；泡沫崩溃；风险预警；超指数膨胀；逆CIR过程
一、研究背景和意义
泡沫存在性识别以及对其崩溃预警是股价泡沫研究的核心热点问题。通俗来看，股价“泡沫”通常是投机活动过于活跃导致市场价格在短期内暴涨又急跌的现象。然而，这种视角对泡沫的识别和预警帮助甚微，顶多也就是个“事后诸葛亮”。学界一般将泡沫严格定义为“股票价格对基本面估值的系统性偏离”，这样的定义面临一个问题：要识别泡沫需要同时检验（1）基本面估值模型是否正确和（2）偏离是否有系统性。但是，这两个检验问题在相互制约，使泡沫识别和预警长期面临两难困境。因此近年来，部分学者开始尝试绕开泡沫定义，着眼于对投机行为的刻画来提出泡沫堆积和崩溃阶段股价所满足的随机过程模型，然后通过研究该过程的动态随机特征开发有助于泡沫识别和预警的统计量。
目前，提出的股价泡沫随机过程大致分为四类：
（1）爆炸根过程(Explosive Root: ER)：该过程通过离散时间序列来表达，泡沫特征是比单位根过程要增长更快。
（2）周期性泡沫马尔科夫区制转换过程(Markovian Regime-Shift: MRS): 该过程强调泡沫的特征是存在周期性的价格快速增长和瞬间暴跌。
(3) 超指数膨胀泡沫过程 (Super-Exponential Bubble: SEB): 该过程的泡沫特征是存在增长上的奇点，泡沫不可能跨过该时点而存在。
(4) 对数周期幂律奇性过程 ( LPPLS)：该过程泡沫价格特征也包含增长上的奇点，但还要求崩溃前的股价的加速周期震荡。
这四大类泡沫都在某一方面捕捉到了泡沫特征，但也都有不足之处：
（1）ER过程在统计很难区分泡沫是在积累还是崩溃阶段，很难用于预警。
（2）MRS过程中决定泡沫存在的概率是外生常量，也很难实时预警。同时，由于须经历反复膨胀和破灭才能从统计上识别泡沫，所以MRS很难适用于非周期性泡沫。
（3）SEB过程捕捉正反馈投机交易造成的股价加速上涨特征，同时也就只能要求价格噪声几何式累积，因此SEB的价格波动率会不断增大，这与一些泡沫实证不符。
（4）LPPLS过程对泡沫的形态限定较强，由于LPPLS是泡沫存在的充分但非必要条件，但同时会错过很多泡沫形态，降低了预警的灵敏度。同时， LPPLS模型参数较多，容易造成过拟合且无法实时估计泡沫崩溃概率。
为了克服这四类泡沫模型的不足，本文提出了一个新的泡沫过程。该过程通过伊藤随机微分方程来刻画正反馈交易，但避免了波动率放大效应，能够识别那些崩溃前波动率下降的泡沫，且允许识别比SEB和LPPLS更为丰富的泡沫形态。它以区制转换来区分泡沫过程和泡沫破灭过程，并利用投资者集体信念的系统性偏误建立了统一的泡沫积累与崩溃行为金融解释。另外，该模型只由三个参数来控制，同时具有良好的解析性质，统计特征也有解析公式。最后，模型具有可计算的内生泡沫崩溃风险率，可明确的进行泡沫破灭泡沫预警。
二、论文的主要研究思路
论文研究与基于随机过程的泡沫建模思路相似，首先着眼于对投机行为的建模来提出泡沫堆积和崩溃阶段股价所满足的随机过程模型，然后研究该过程的动态随机特征，最后基于这些动态特征开发有助于泡沫识别。论文的突出特点是对泡沫崩溃概率进行了直接建模，并建立了相应的预警的统计量。
本文假设一个完整的股价泡沫演化周期由泡沫生成、泡沫堆积和泡沫破灭三个阶段所组成，其中泡沫生成定义在时点，旋即进入泡沫堆积。泡沫堆积和破灭都定义在区间上，两者的区分体现在市场内隐价格的不同上。内隐价格是指感知内在价格(perceived intrinsical value) ，表示市场信念集成后产生的总体主观心理认同价值。本文假设它存在，但不可观测。同时它是行为上的主观金融价值，不是经济学上的客观基本面价值。泡沫建模主要假设如下：
（1）泡沫生成。基本面的向好所引发的投资者集体过度自信或过度乐观，此时内隐价格短期被超调到一个显著区别并高于当前基本面价格的水平，泡沫旋即进入堆积过程。
（2）泡沫堆积。此时价格瞬时收益率满足特定的伊藤随机微分方程。方程的漂移项一部分表示泡沫过程中价格趋向效应。表示市场在风险套利的驱使下形成负反馈机制，自发将价格推向市场总体认同的均衡内隐价格；另一部分表示价格波动性所带来的必要风险溢价。方程的扩散项假设股价的波动性正比于股票的市盈率水平，函数化的漂移项和扩散项则体现了泡沫堆积阶段的正反馈效应。
（3）泡沫破灭。肇始于市场集体性的理性回归，交易者普遍意识到内隐价值被错误高估，因此总体信念恢复到客观基本面。此时价格瞬时收益率满足与泡沫堆积相似的的伊藤随机微分方程，只是让内隐价格就等于基本面价格。泡沫破灭过程仍然存在有来自波动率的正反馈效应，这将导致价格在崩溃初始先加速下降并在随后降速减慢。
（4）泡沫崩溃概率。泡沫从堆积过程转变为破灭过程将经历一次区制转换，市场未来发生区制转换的等待时间服从指数分布，由到达率 (Bubble Burst Arrival Rate: BBAR) 来表征，且BBAR在模型中内生确定。股票市场中充斥着老练投资者和噪声交易者，只有前者能够实时评估BBAR并根据其数值并决定是继续追加投资、谨慎观望还是快速离场。噪声交易者贡献流动性但不决定价格。老练投资者将会衡量如果刚好在泡沫崩溃前退场的所获得的期望回报与理论上最大期望回报（即泡沫一直不破灭所获得的回报）的占比。当次占比大于某一常数时，老练投资者就值得在泡沫中追加投资，否则就离场退出。
基于以上假设，论文推导出泡沫堆积下的股票价符合格明确的解析形式：股票价格是可观测的盈利收益率(earning yield: EY)的 确定性函数，而EY服从著名的CIR过程。其中，EY定义为每股盈利与每股市场价格的比值。由于EY服从倒数化的Cox-Ingersoll-Ross (CIR)过程，因此该泡沫被称为逆CIR泡沫模型。根据泡沫价格的解，论文研究了泡沫状态下的股票的条件收益率、条件波动率的表达式、以及假设泡沫不崩溃下的长期稳态性质。该泡沫模型所有的统计特征均具有显式的解析表达式，这源于泡沫价格条件转移概率密度具有显式解。随后，论文证明在一定的条件下，条件收益率可用Kummer-合流超几何函数来表示。接着，论文证明条件波动率也可表达为Kummer-合流超几何函数的形式。最后，根据CIR过程的稳态性质，论文证明泡沫价格服从的逆CIR过程是一个遍历的马尔科夫过程。因此，如果泡沫不崩溃，那么泡沫价格具有长期无条件稳态分布概率，论文推导出了该稳态概率所应满足的公式，它正比于价格倒数的负指数函数，同时也正比于价格自身的负幂律。
三、论文的主要研究结论
首先按照该模型，泡沫阶段的股价动态可被化简为由盈利收益率的动态过程来描述。由于盈利收益率可以拆解为预期现金流的内部收益率与预期股票权益增长率的差，代表了预期的资本成本与收益的缺口；从经济学的角度，它代表了资本的货币利率（成本）与自然利率（收益）之差。考虑到CIR过程恰恰是用来描述利率动态的模型，因此该模型给出的泡沫有明确的理论含义：在泡沫堆积伊始，市场表现出对未来盈利增长率的过度乐观，系统性的错误高估了预期自然利率，在预期的货币利率相对稳定的情形下，致使预期的盈利收益率显著下降，内隐价格被超调偏离基本面水平的数值；另一方面，资本成本-收益缺口的缩小也刺激了资本市场信贷的扩张，泡沫由此开始堆积，以后盈利收益率震荡性减小，价格被推导。2015年股灾之前的那次国内泡沫也符合这样的解释。
同时，论文表明逆CIR泡沫具有一下三个行为特征。
（1）风险溢价的非线性特征。由于在泡沫过程中价格不断变化的正反馈作用，表现出的长期风险溢价效应是波动控制系数的非线性函数。同时，泡沫堆积时的风险补偿要远远大于泡沫破灭时的补偿。
（2）暂态的超指数膨胀形态。泡沫不破灭情形下，股价在最终增速减缓收敛到稳态价格之前，将呈现出暂态的超指数膨胀形态。论文给出了泡沫超指数膨胀的条件以及膨胀时间的关系。利用这一关系，逆CIR泡沫能解释所谓的“泡沫高位滞涨”现象。
（3）“暴雨的寂静”现象。泡沫在崩溃前月波动率并未出现的显著增大，甚至变小，被称为“暴风雨前的寂静”现象。历史上 2/3 的泡沫都有这样的特征。论文证明如果暂态的超指数膨胀之后泡沫还没有崩溃，那么逆CIR泡沫能够模拟出这一现象。同时有结论，越快成熟的股票往往越容易出现“暴风雨前的寂静”现象。
另外，论文给出了计算内生泡沫崩溃风险率指标BBAR的方法。论文证明，在市场均衡时，每一个时刻的 BBAR 应满足一个特定的高斯超几何函数非线性方程。方程中的参数取决于如果在泡沫崩溃前退场的期望回报相对于泡沫始终不破灭情形下理论最大期望回报的占比。以2015年的中国股灾为案例的实证来看，股灾前的泡沫表现满足逆CIR模型的条件，同时模型能够估计出市场集体信念系统性高估的股指点数及理论上泡沫必然崩溃的最大股指点数。同时，利用五分钟高频数据的计算表明，BBAR具有良好的预警效果，能将泡沫崩溃的临界天数估计控制在一个月之内。
本文摘编自《系统工程理论与实践》第42卷第1期论文《股价泡沫的逆CIR模型研究》，点击链接下载全文：http://www.sysengi.com/CN/abstract/abstract113054.shtml
作者：林黎，华东理工大学商学院副教授、博士；郑海涛，北京航空航天大学经济管理学院教授、博士；覃筱，上海交通大学安泰经济与管理学院副教授、博士。